时间：2022-12-30 11:27:01
动点存在性问题一直是中考的热点和难点，其中相似三角形存在性问题是一个重要的题型。 在教学中教书的人发现，一些学生对这样的问题仍然没有很好地分析和解决，以致脑子一片空白，感到非常遗憾。 虽然在课堂上多次强调了问题解决方案，但并没有成为全面的覆盖。 借此，学生们彻底掌握了这种题型的解决方法，明白了解题原理真的很简单。
我们知道，当标题是用文字而不是符号表示的“相似”时，两个相似的三角形没有对应关系，分类复杂难懂。 但是，这类问题大多都有痕迹。 大多数情况下，问题所涉及的两个相似的三角形中存在重要的一组相等的角。 由于这一组相等角是一定对应的角，所以可以快速地将复杂难识别的多种分类简化为最多两种情况。 以下就问题进行说明的话，会变得更明确吧。
解决问题的关键是找到关键的相等的角组。 这是第一步。 这个相等的角组有时可以清楚地说明问题，有时也很模糊。 你需要自己有意识地寻找这些特殊的关系。
类型1与纯几何三角形相似的存在性问题
例1 .在矩形ABCD中，AB=6、AD=8，点e是边AD上的一点，EMEC交叉AB是点m，点n是放射线MB上，并且AE是AM和AN的比率的中项。
(1)如图1所示，ANE=DCE；
)如图2所示，在点n在线段MB之间连接AC，且AC和NE相互垂直情况下，求出MN的长度；
)连接AC，是否有AEC，类似于以点e、m、n为顶点的三角形。 如果有求DE的长度，如果没有，就说明理由。
【分析】(1)由比例中项得知AM/AE=AE/AN，从而得到ame(AEN得到AEM=ANE，再证AEM=DCE得到答案
)先证明ANE=EAC，通过与ANE=DCE得DCE=EAC结合，得知DE/DC=DC/AD，从而求出AE=89/2=7/2
(3)分ENM=EAC和ENM=ECA两种情况分别求解得到。
【解答】(1) AE是AM和AN的比例中项(AM/AE=AE/AN，
A=A，AMEAEN，AEM=ANE，
D=90，DCE DEC=90
EMBC，AEM DEC=90，AEM=DCE，ANE=DCE；
(2) AC和NE相互垂直，( EAC ) AEN=90
BAC=90，ANE AEN=90，ANE=EAC
(1)得到ANE=DCE，DCE=EAC，
tanDCE=tanDAC，DE/DC=DC/AD，
DC=AB=6，AD=8，DE=9/2，∕AE=89/2=7/2，
(1)得到AEM=DCE，tanAEM=tanDCE，
AM/AE=DE/DC，AM=21/8，
AM/AE=AE/AN，AN=14/3，MN=49/24；
(三)存在。
理由：NME=MAE AEM，AEC=D DCE
另外MAE=D=90，由(1)得到AEM=DCE，AEC=NME，
AEC与以点e、m、n为顶点的三角形相似的情况
ENM=EAC，如图2所示，
ANE=EAC，(2)得： DE=9/2；
ENM=ECA，如图3所示，过e点为EHAC，下垂为点h，
(1)得ANE=DCE，ECA=DCE，HE=DE
另外tanHAE=HE/AH=DC/AD=6/8，
假设DE=3x，则HE=3x、AH=4x、AE=5x、
此外，AE DE=AD，5x 3x=8，解为x=1，DE=3x=3，
综上所述，DE的长度分别为9/2或3
类型2函数背景下的三角形相似存在性问题
例2 .已知抛物线y=1/2x bx c通过点a (-2，0 )，b ) 0，-4)与x轴相交于另一点c，连接BC。
)1)求抛物线的解析表达式
)如图所示，p是第一象限内的抛物线上的一点，并且是SPBO=SPBC。 求证： APBC；
)3)抛物线上是否存在点d，直线BD的交叉x轴位于点e，ABE是否与以a、b、c、e三点为顶点的三角形相似(不重合)？ 如果存在，则请求点d的坐标； 如果不存在，请说明理由。
【分析】(1)用待定系数法求解抛物线的解析表达式；
)2)设y=0，求出抛物线与x轴交点c的坐标，作出POB和PBC的高线，由面积相等得到OE=CF，得到OEG (证明陈( CFG，OG=CG=2，是三角函数的列式吗
)首先，用概率知识分析以a、b、c、e 3点为顶点的三角形。 两个三角形可能与ABE相似。 即ABC和BCE。
ABE与以a、b、c这3点为顶点的三角形相似时，如图2所示，由于存在公共角BAE=BAC，因此可以得到ABE(ACB )，列比例式可以得到e的坐标，用未定系数法求出直线be的解析式，从而得到抛物线
ABE与以b、c、e三点为顶点的三角形相似时，如图3所示，可以得到同样的结论。
将(1)点a (-2，0 )、b ) 0、-4)代入抛物线y=1/2x bx c时(2-2b c=0，c=-4，解) b=-1，c=-4，
抛物线的解析表达式为： y=1/2x2x4；
)2)当y=0时，1/2 x2x4=0，且解为x=2或4，c ( 4，0 )。
如图1所示，将过o设为OEBP设为e，将过c设为CFBP设为f，将PB交叉x轴设为g时，
SPBO=SPBC，1/2PBOE=1/2PBCF，OE=CF，
( OEG((CFG，OG=CG=2，
设p(x，1/2x-x-4 )，超过p，设PMy轴为m，
tanPBM=PM/BM=OG/OB=2/4=1/2，
BM=2PM，41/2x-x-4=2x，x6x=0，x=0(舍)，x=6，
( p ( 6，8 )，容易得到AP的解析式为，y=x 2，BC的解析式为，y=x4，( AP(BC；
)以a、b、c、e这3点为顶点的三角形有ABC、ABE、ACE、BCE种，其中ABE重叠，不满足条件，ACE无法构成三角形。
(当) Abe与以a、b、c、e这3点为顶点的三角形相似，存在ABC和BCE这2个三角形，
ABE与以a、b、c三点为顶点的三角形相似时，如图2所示，
BAE=BAC，ABEABC，ABE=ACB=45
( Abe(ACB，(AB/AC=AE/AB，(2)5/6=AE/2 ) 5，
(AE=10/3，OE=10/32=4/3，( e (4/3，0 )，
B(0，-4)容易成为be(y=3x-4，
于是，1/2x-x-4=3x-4，x=0(舍)，x=8，d ( 8，20 )；
当Abe与以b、c、e 3点为顶点的三角形相似时，如图3所示，此时e在c的左边，
BEA=BEC，ABE=BCE时，Abe(BCE，
AB/BC=BE/CE=25/45，
若BE=25m、CE=42m，
在RtBOE中，根据钩子定理，be=OEob，
(4)4) 2m-4 ) ()2) 5m )、3m-8 ) 2m8=0，
( m22 ) ) 3m22 )=0，
m=22，m=22/3，OE=42m4=12或4/3，
OE=4/3<； 2、AEB或BEC为钝角。 此时，( Abe与以b、c、e中3点为顶点的三角形不相似，如图4所示( e (-12，0 )；
同样得到的BE的解析表达式为： y=1/3x4，
(1/3x-4=1/2x-x-4，x=4/3或0 (舍( ( d )4/3，40/9 ) )；
同样，如果e在c的右侧，则为AbeBCE、
OE=12 (舍)或4/3，
OE=4/3<； 4，BEC为钝角。 此时，ABE与以b、c、e三点为顶点的三角形不相似。
综上所述，点d的坐标为[ 8，20 ]或4/3，40/9。
牛刀小试：
1 )如图所示，)在ABC中ACB=90，BC=6cm，动点p以2cm/s的速度)在ABC的边上沿AB的方向等速运动，动点q在%ABC的边上沿CA的方向等速运动，p、q两点同时出发
)1)图中AC=cm，点q的运动速度为cm/s；
2 )求函数s的最大值
)3)当t是什么样的值时，以a、p、q为顶点的三角形与ABC相似？ 请说明理由。
【参考答案】(1) 8、1；
)2)超过点p，将PHAQ设为h时，变为ph(BC )，
从题意看，AP=2t、CQ=8t、PH=6/5t、
s=1/26/5t(8-t )-3/5t24/5t=-3/5(t-4 ) 48/5；
当t=4s时，s为最大值=48/5(cm2 )；
(3)A为共同的角，
AP:AB=AQ:AC时，apqABC，2t/10=(8-t )/8，
( t=40/13s，
a是公共区域，
AP:AC=AQ:AB时，选择apqACB、
( 2t/10=(8-t )/10，解算： t=16/7s，
根据以上情况，当t为49/13或16/7时，以a、p、q为顶点三角形与ABC相似.
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此问题分类的出发点：
如果ABC和DEF相似，但没有给出对应点，理论上应该分为6种情况进行讨论，但在实际问题中一般不超过4种，常见的有以下两种类型，分别分为两种情况进行讨论即可。
a .两个直角三角形均为直角三角形，如果ABC与DEF相似，B=C=90，则应考虑ABC(def或ABC(fed )；
b .如果两个三角形有共同的角A，且ABC和AEF相似，则应考虑ABC(AEF或ABC(AFE )。
总之探索相似三角形的存在性(用动点解释相似三角形问题的一般解法是：如果给定两个三角形的各边，首先设定求解点的坐标，用变量表达式表示各边的长度，用相似相关序列方程求解。
求相似三角形的第三个顶点时，首先分析已知三角形的边和角特征，得到它是否为特殊三角形，然后根据未知三角形中已知边和已知三角形中边的对应情况进行分类讨论)
